リスクの取引に現われる固有値問題
パズルの最後のピースに、指が掛かった気がする。学校の時に取り組んだ固有値問題の姿を装って、それが目の前に現れたことは、なんだか嬉しい。CAPMのような、APTのような、まだ全貌の見えていない、すこしぼんやりした話だが、継続的に取り組んでいきたい。今日は、その第一弾だ。取引可能なリスクにかかる共分散行列Σは、市場参加者の総意として与えられていると思う。その各要素を暗示するオプション取引の流動性は、現状では、ごく一部のリスクあるいはポートフォリオにかかるものに限られているが、遠い未来の話と捉えていただいてもよい。
Σw = λw
ここでwはポートフォリオのベクトル、λはスカラーだが、この形から、それぞれ共分散行列Σにかかる固有ベクトル、固有値を表現する。もちろん主成分分析をイメージいただいてもよい。もう一年ほど前の話だが、夜中に散歩しながら空を見上げると、方程式とその示唆するものが頭に浮かんできた。マーコヴィッツの問題を想起すれば、左辺は最適ポートフォリオとしてwを返すような、期待リターンのベクトル*1である。それがポートフォリオ自身に比例するものが、固有ベクトルを表現すると方程式は述べている。具体的に考えてみよう。
■ ＝
■ ＝
■ ■ ＝ ＝
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■ ■ ＝ ＝
■ ＝
■ ＝
ト ス マ ホ ト ス マ ホ
ヨ ズ ツ ン ヨ ズ ツ ン
タ キ ダ ダ タ キ ダ ダ
縦軸は、何らかの見方による評価（■）だが、同時に、これに比例してポジション（＝）を取っている状況をイメージいただきたい。さほど違和感がないだろうと思うのは、何らかの見方が強いほど（あるいは弱いほど）、比例的に大きな（小さな）ポジションを取るのは普通のことだ。上図ではトヨタからホンダにかけて、その評価が直線的に並ぶ例を挙げたが、もちろんポジションと相似でさえあれば、その形状は何でもよい。おそらく銘柄の数に近い*2だろう固有ベクトルは、互いに独立な基底として、任意の銘柄を市場参加者が捉えるリスクに主軸変換する。例えばトヨタは、日本株で、自動車セクターで、大型で、どちらかといえばバリューで、北米で強い、といったようなリスクを備えているように思われるが、日本株を表現するポートフォリオ、自動車セクターを表現するポートフォリオ、大型/小型を表現するポートフォリオ、バリュー/グロースを表現するポートフォリオ、北米で強いを表現するポートフォリオが、おそらく存在して、それらの線形和によってトヨタが表現されるわけだ。
APTに毛が生えたようなものだとか、あるいは共分散行列を対角化しただけだと思われるかもしれない。何が嬉しいかといえば、基本方程式が、投資家の行動に則して理解され、それらがリスクの価格やマネジメント、あるいはダイナミックな市場の姿を捉える手掛かりになるように感じられるからだ。もともとの動機は、このあたり周辺をモヤモヤと考えていたのは、ある会社は、いつどんなふうに、他社との合併や新規事業の計画、あるいは分社化を考えるのか、といった問題について、CAPMの概念で串刺してみたかったからだ。均衡マネジメント報酬*3、そして均衡ビジネスユニット*4の概念が、より手元に近づいてきた。本番はこれからだ。ここのところ、ずっと興奮している。ブラックは、褒めてくれるだろうか。
